辐射度量学笔记

射度量学其实是对光照的一套测量系统和单位，它能够准确的描述光线的物理性质。
具体来说，我们需要明白的是其中的几个关于光线的概念，分别为：辐射能量(Radiant energy)，辐射通量(Radiant flux)，辐射强度(Radiant intensity)，irradiance，radiance，(对后两种概念没有合适的中文，所以就直接用英文了)，接下来就对这些概念进行具体解释。

2.1 辐射能量(Radiant energy)和辐射通量(Radiant flux)

首先看一看Radiant energy的定义：

所谓辐射能量其实非常直观，就是辐射出来的电磁能量，单位为焦耳。可以用物理当中的做功的大小来进行类比。
接下来是Radiant flux(power)：

所谓辐射通量或者说辐射功率，其实就是在辐射能量的基础之上除以时间，也就是单位时间的能量。同样也可以用物理当中的功率来进行类比。
(tips: 具体来说一般偏向用radiant flux来衡量光线的亮度，因为我们更关心的是单位时间的效果，事实上也是这么做的，想想在说白炽灯泡的时候也是说60W亮度，80W亮度)

2.2 辐射强度(Radiant intensity)

在进行具体的数学定义之前，先借助如下一张图建立对剩下3个概念的一些直观的理解：

1 Radiant itensity其实就是指从一个光源出发某一方向上的亮度
2 Irradiance指某一微小平面所接受到的光线亮度
3 radiance衡量的是一条传播光线所具有的亮度(不受传播方向影响而改变)
（这里的亮度也可以理解为radiant flux(power)。）
好了，接下来首先看Radiant intensity的数学定义：

Radiant intensity一句话来说就是从光源发出的每单位立体角上的功率，关于辐射功率的定义在上文已经解释，这里唯一还不知道的就是立体角(solid angle)了。
solid angle其实就是对应二维空间中圆的弧度在三维空间中球上的拓展。 首先看在二维计算弧度公式如下：

即(至于为什么这么算，中学知识这里就不展开了。)
那么对应在三维上的球的弧度(立体角)，只需进行一个简单的扩展如下：

即立体角度所对应球上的投影面积比上半径的平方，整个球的立体角为。
那么对于Radiant intensity的定义当中，微分立体角计算如下：

首先确定空间中一个方向(通过)，在这两个角度上分别增加一个微分值，则可以计算出如图中所示的对应到球上的投影面积。其中就是微分面积元的高，是微分面积元的宽，二者相乘，自然就是面积了，再根据立体角的定义除以即可得到微分立体角了。
在此还可以验证下，对在整个球上积分：

与之前所讲的球的立体角为一致。
tips：
注意在计算微分立体角之前，我们其实选定了空间当中的一个方向（由所确定），称这个方向为，然后才在此基础之上分别对增加经计算得到最终的，因此Radiant intensity的物理含义此时就很清楚了，为光源向某一方向所发射出的单位立体角的功率，简而言之就是光源在某个方向上的亮度如何！
最后举一个对各向同性点光源计算Radiant intensity的例子：

因为各项同性点光源所有方向上的亮度都与方向无关，因此立体角可以直接积分出来为，最终计算得。 (如果不是各项同性的话这里的应该为一个关于方向的的函数)
以上就已经详细介绍完了关于Radiant intensity的定义，接下来给出irradiance的相关定义

2.3 irradiance

同样用一句话来说，irradiance是指每单位照射面积所接收到的power，单位如图中所示。 借助于irradiance，可以很轻松的解释在Blinn-Phong所提到的Lambert’s Law,即光线亮度在计算时需要乘上一个，如下图所示：

当光线垂直照射平面时，如上图左边所示，照射到平面上的面积与光线本身的“宽度一致”。但当光线斜着照射到平面时，此时的照射面积就不再是光线本身的“宽度”了，具体来说此时的照射面积。
那么针对右边情况的irradiance的计算就应该为：
，相对于多了一个。
而这其实也就解释了Lambert’s Law要乘以一个的原因了。
此外，回想一下也是在Blinn-Phong模型所提到的光线越远会越加衰减：

该现象也完全可以用irradiance解释，因为光的功率始终一致，离点光源所照射到的圆球面积也就越大，因此根据irradiance的式子，分母的面积值也就越大，irradiance也就越小。

2.4 radiance

最后，我们终于来到了最后一条概念了，这条概念也是所有辐射度量学的概念当中最为重要的一个，那么首先直接就来看他的数学定义是怎么样的：

用一句话概述的话，所谓radiance就是指每单位立体角，每单位垂直面积的功率，直观来看的话，很像是Intensity和irradiance的结合。它同时指定了光的方向与照射到的表面所接受到的亮度。
但这里有一个细微的区别，在irradiance中定义的每单位照射面积，而在radiance当中，为了更好的使其成为描述一条光线传播中的亮度，且在传播过程当中大小不随方向改变，所以在定义中关于接收面积的部分是每单位垂直面积，而这一点的不同也正解释了图中式子分母上的，具体可以观察如下图：

即图中的是irradiance中定义所对应的，而才是radiance中所定义的面积。二者之间的关系为。
(以上各项定义确实比较绕，我在闫老师的讲解上又去借鉴了PBR书中的定义，对这些概念加以了自己的解释，希望能对大家有帮助！)
好了，在理解了radiance和irradiance的定义之后，再讨论讨论它们之间的关系，通过二者的定义式子，不难得出如下结果：

进一步推导得到：

观察一下积分后的式子，就是点p的irradiance，其物理含义是上文所提到过的点p上每单位照射面积的功率，而指入射光每立体角，每垂直面积的功率，因此积分式子右边的解释了面积上定义的差异，而对积分，则是相当于对所有不同角度的入射光线做一个求和，那么该积分式子的物理含义便是，一个点(微分面积元)所接收到的亮度(irradiance)，由所有不同方向的入射光线亮度(radiance)共同贡献得到。