理解渲染方程

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 2021/03/29 

渲染方程知识在反射方程的基础之上添加了一个自发光项(Emission term)，从而使得反射方程更加的general：

其中为自发光项，反射方程中的用，代替。 (tips：所有光线方向均指向外)
接下来从一个点光源和单个物体的场景开始理解渲染方程：

(点光源对一个点来说自然只有一个方向有入射光，所以这里没有了积分)
多个点光源一个物体的情况：

将这些所有的点光源的贡献全部求和即可，那么如果点光源变成了面光源呢？如下图所示：

其实面光源就相当于无穷多个点光源的集合，只需要对面光源所在的立体角范围进行积分，并且能够确定不同立体角方向的面光源的入射光radiance即可。
那么更进一步的，再在场景当中加入其它物体，使得物体之间发生光线交互之后是什么情况呢：

如上图所示，可以把其它物体同样考虑成面光源，对其所占立体角进行积分即可，只不过对其它物体的立体角积分不像是面光源所有入射方向都有radiance，物体的立体角可能只有个别几个方向有入射的radiance(即多次物体间光线反射之后恰好照射到着色点x)，其它方向没有，但本质上都可以视作是面光源。
观察一下图中的渲染方程可以发现除了两个radiance，其它所有项都是知道的，可以将上式进一步写成如下图下方所示的式子：

其中各项与原渲染方程中一一对应，(这里其实是有数学严格推导的，不过我们只是为了接下来构建直观的物理解释，对于这些推导不必在意，默认成立即可)，再接着，可以把该式子离散化写为线性代数的形式：

呼，经过两步我们不是很清楚但其实是正确的数学推导之后，得到了这样一个式子：

其中L其实就是想要求得的反射光，E是自发光其实就是光源的发光项，K可以理解为对光线进行反射的一种算子操作(因为它由BRDF化来的)。那么利用线性代数的知识很容易就可以推导出L的结果如下：

其中为单位矩阵，再接着对使用广义二项式定理得到：

仔细观察这个式子，注意E是光源所发出的光，K为反射算子，这样一个式子的物理含义如下图所示：

E为光源发出的光，KE则代表对光源反射一次的结果，即直接光照，那么前两项之和就是光栅化当中着色所考虑的结果，对于全局光照来说，还考虑了，即一次弹射的间接照明，就是两次弹射的间接照明，依次类推。
这样来看整个结果是不是就很清晰了，就是光源发光加上直接光照与多次间接光照的结果！而这一切都是从渲染方程推导而来的，因此这也正是渲染方程的物理意义！
最后以几张基于物理渲染的图片作为本篇文章的结束一次反射直接光照：

两次反射，考虑到一次弹射的间接光照：

3次反射，考虑到两次弹射的间接光照：

(考虑次数越多越接近真实图片效果,趋近收敛)